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Simetrías de formas y leyes

Alberto Requena
ALBERTO REQUENA

La inmunidad al cambio con los desplazamientos, es la simetría traslacional. Permite que exista la Física. De esta forma, las leyes son de validez universal. Conocemos el Universo gracias a ello. Pero las leyes de la Física también son inmunes al cambio con la rotación. Significa que no hay direcciones privilegiadas. Obtenemos la misma conclusión cuando el experimento lo llevamos a cabo estando de pie o recostados, cuando medimos en la dirección hacia arriba o hacia abajo, mirando al norte o encarando el sur. Puede que esto no sea muy intuitivo, en especial cuando reparamos que todas las personas tienen clara la distinción entre arriba y abajo. Aristóteles pensaba que los cuerpos caen hacia abajo, porque la forma natural de estar los objetos es en la Tierra. Newton, en cambio, aclaró que arriba y abajo nos parecen diferentes, no debido a que las leyes físicas dependan de estas direcciones, sino porque nosotros percibimos que el empuje gravitacional es mayor en el sentido de la masa relativamente más grande, en este caso la de la Tierra, con respecto a nosotros. Estas situaciones suponen un cambio de entorno, pero no de ley. Tenemos suerte de que las simetrías de traslación y de rotación nos aseguran que, independientemente de donde nos encontremos en el espacio y de cómo estemos orientados, descubriremos las mismas leyes.

Los griegos pensaban que las órbitas de los planetas eran circulares, porque la forma de la órbita era simétrica para una rotación de cualquier ángulo. Esto las situaba en la nómina de la perfección. En cambio Newton, en su ley, consideró que era la gravitación sometida a rotación la que implicaba que cualquier orientación estaba permitida. Las órbitas no tenían por qué ser circulares. Podían serlo, pero, de hecho, resultaron ser elípticas.

La simetría es una de las mejores claves para interpretar y llegar a conocer el diseño de la Naturaleza. Esta forma de ver las cosas nos convierte en una especie de «turistas» en un país extranjero, porque admiramos la simetría. Pero lo que hay que hacer es aprender a manejar su lenguaje, por ser la única forma de profundizar en ella. Cuando Newton formuló la Física Clásica, desarrolló el lenguaje matemático para .expresar y manipular su propuesta. Por ejemplo, el lenguaje subyacente en el mundo del arte abstracto es el color. La emoción y el significado no estaban en las formas, sino en los colores, que eran los elementos que comunicaban. El lenguaje de la simetría es la denominada teoría de grupos. Los grupos son conjuntos matemáticos cuyos elementos cumplen ciertas reglas con respecto a cierta operación: 1) hay una ley de composición interna, normalmente llamada multiplicación o suma; 2) ley asociativa; 3) existencia del elemento neutro ( 1 en la multiplicación y 0 en la suma) 4) Existencia del inverso ( simétrico).. Para ser grupo un conjunto, sus elementos tienen que cumplir éstas reglas que unifican todas las simetrías del mundo. La teoría de grupos explica por qué cuando hay varias transformaciones, como una rotación y una reflexión, se aplican sucesivamente. Puede ocurrir que tras estas operaciones el objeto quede en una posición indistinguible con la original. A transformaciones de este tipo se les denomina operaciones de simetría. Las moléculas se clasifican según su simetría. Se pueden conocer muchas propiedades de las moléculas simplemente con saber a qué grupo de simetría pertenece. Las leyes que gobiernan la Naturaleza se pueden deducir a partir de las simetrías observables.

El origen de la teoría de grupos se sitúa en los intentos de los matemáticos para resolver ecuaciones algebraicas de grado arbitrario, es decir, obtener las raíces de la ecuación. Los árabes y después los algebristas italianos llegaron a resolver las ecuaciones de grado dos, tres y cuatro. El matemático noruego Abel resolvió en 1824 la «quinta insoluble», basándose en las aportaciones del italiano Ruffini, concluyendo que no habían soluciones analíticas para grado superior a cinco. El francés Galois, creador de la teoría de grupos, demostró la imposibilidad de encontrar solución a ecuaciones de grado superior a cinco y explicó por qué tienen solución las ecuaciones de grado inferior a cinco. Fue rechazado en la famosa Escuela Politécnica de Paris y se matriculó en la Escuela Normal. Murió a los 20 años, como consecuencia de las heridas en el abdomen infringidas en un duelo. No fue reconocida su aportación hasta mucho tiempo después de muerto.