Ángel del Río: «Todas las leyes físicas son, en realidad, conjeturas»

El investigador de la UMU Ángel del Río. / fRAN MANZANERA / AGM
El investigador de la UMU Ángel del Río. / fRAN MANZANERA / AGM

Ángel del Río. Catedrático de Matemáticas de la Universidad de Murcia

M. J. MORENOMURCIA.

Recientemente, algunos miembros del grupo de investigación 'Anillos y álgebras, sus grupos de unidades, módulos, homología y aplicaciones' de la Universidad de Murcia han contribuido a la solución de un problema que llevaba abierto cuarenta años: la conjetura de Zassenhaus.

En concreto, se ha encontrado un ejemplo que demuestra que la conjetura no era correcta. «En matemáticas esto se llama contraejemplo», como apunta Ángel del Río, investigador principal del Grupo, seleccionado por la Fundación Séneca como uno de sus grupos de Excelencia Investigadora en la última convocatoria.

Asegura que «este era un problema muy interesante que llevaba mucho tiempo sin resolverse. Más bien se podría decir que la conjetura era una posible respuesta a un problema en el área de investigación en la que yo trabajo. Al encontrarse el contraejemplo tenemos que buscar cuál sería la respuesta posible al problema».

Las hipótesis despiertan el interés de numerosos aficionados a las matemáticas, pero también de los profesionales

Con respecto a por qué llevaba tanto tiempo sin respuesta, supone que «porque se trataba de un problema muy difícil. Se había demostrado que la conjetura era correcta en muchos casos particulares y se habían desarrollado muchas técnicas para conseguirlo pero nadie había conseguido decidir hasta ahora si la conjetura era correcta o no en todos los casos».

En cuanto a su utilidad, hay que decir que se trata de ciencia básica, con lo que la utilidad más inmediata no será del tipo aplicado que se pueda pensar, sino a una mejor comprensión de las estructuras matemáticas asociadas. «Una vez que sabemos que la conjetura es falsa nos encontramos que las posibilidades son mayores de las que se sospechaba. Dicho en términos no técnicos, la conjetura decía que la forma obvia de conseguir unos elementos (que llamamos unidades de torsión) en ciertas estructuras algebraicas es la única posible. Ahora que sabemos que hay más formas de conseguir esos objetos se abre un nuevo universo. ¿Cuántas formas han de construir unidades de torsión? ¿Somos capaces de construirlas todas? ¿Cuáles son sus propiedades? ¿Quién sabe? A lo mejor las más interesantes para ciertas aplicaciones pueden ser las que se pueden construir con formas nuevas. Como no es tan obvio construirlas tal vez se puedan usar para transmitir secretos (criptografía)», en palabras de Del Río.

Zassenhaus era un problema que llevaba abierto cuarenta años

Las conjeturas despiertan el interés de numerosos aficionados a las matemáticas, pero también de los profesionales. Al fin y al cabo, como dice el catedrático de la UMU, «¿quién no quiere resolver un enigma que nadie había resuelto antes?».

¿Y qué hace que una idea se convierta en conjetura?, al fin y al cabo una afirmación que no se ha demostrado no siempre pasa a ser un reto para los matemáticos. Ángel del Río explica que «generalmente una afirmación que no se sabe si es verdadera o falsa pasa a ser conjetura cuando se ha comprobado para muchos casos y se ha observado que siempre pasa».

Y sigue: «En realidad, todas las leyes físicas son conjeturas. Decimos que el calor dilata los metales porque es lo que hemos visto que pasa siempre, pero nadie ha conseguido demostrar que en todos los mundos posibles el calor dilatará todos los metales. De hecho tampoco se ha demostrado en el mundo en el que vivimos. Si encontráramos una situación en la que una barra de hierro no se dilatara al aplicarle calor, tendríamos que descartar este principio como ley física. Es decir, las leyes (conjeturas) físicas se pueden refutar con la experiencia».

«En el instituto aprendemos las leyes de la mecánica de Newton, que son las leyes físicas que la humanidad se creía hasta principios del siglo XX cuando esas 'leyes' fueron refutadas y tuvo que venir Einstein a poner otras 'leyes' encima de la mesa. ¿Son verdad? Bueno, son buenas aproximaciones a la realidad. La diferencia de las leyes físicas con las conjeturas matemáticas es que se pueden demostrar, en cuyo caso ya serán verdad para siempre jamás, como diría Peter Pan», concluye.

¿Cómo es posible que se demuestre algo para todos los mundos posibles?

En ocasiones, las matemáticas rozan cuestiones filosóficas. Desde la Grecia clásica, el método matemático se construye a partir de axiomas que pretenden modelar nuestra visión de la realidad. La elección de los axiomas tiene un componente social, pues incluye la aceptación por parte de la comunidad científica de que los axiomas son válidos, además de por supuesto de que no se contradigan entre sí. Podría parecer que es una forma de hacer trampa, que se eligen axiomas al azar, y se juega con ellos. «Si así fuera, las matemáticas serían un juego inútil, pero obviamente no es así», según el catedrático de la Universidad de Murcia, Ángel del Río. Los axiomas que se quedan son los que demuestran su utilidad, porque reflejan muy bien lo que se quiere modelar. Por ejemplo, desde el siglo XIX se aceptan los Axiomas de Peano como la base de la aritmética, o sea la teoría de los números. Son cinco axiomas muy simples. Si no estás de acuerdo con alguno de los axiomas, puedes decirlo, pero tendrás que explicar qué hay en él que te parezca que no se puede aceptar. Por ejemplo, el primero dice que '1' es un número. ¿Estás de acuerdo en aceptar como axioma que '1' es un número? Si aceptas los axiomas podemos continuar trabajando. A partir de ellos hay que construir toda la aritmética sin aceptar nada que no esté en los axiomas o se deduzca a partir de ellos. Por ejemplo, hay que definir la suma y el producto usando los axiomas y demostrar sus propiedades solo usando lo que hemos aceptado. Así pues, dice Del Río, «no me voy a creer que el orden de los factores no altera el producto como me lo creí cuando me lo contó el maestro en la escuela. Ahora exijo ver la demostración, y una vez que yo la vea y me la crea, ya podré usarla para demostrar otras cosas». Volviendo a la pregunta sobre todos los mundos posibles, el investigador afirma que hay una 'boutade' que dice así: «La mayoría de los científicos (físicos, químicos, biólogos, etc.) estudian las reglas que marcó Dios para regir el universo mientras que los matemáticos estudian las leyes que hasta Dios tiene que obedecer».

«Las matemáticas han demostrado que son muy útiles en casi todas las ramas del saber»

Muchas personas piensan que las matemáticas son solo fórmulas, pero la verdad es que estas solo son una parte de las matemáticas. En los cinco Axiomas de Peano, por ejemplo, no aparece ninguna. Alguna afirmación se podría convertir en una fórmula, pero lo esencial no es ella, sino lo que dice. Muchos artículos de investigación matemática no contienen ninguna fórmula, o tienen muy pocas. Por tanto, Ángel del Río prefiere hablar de si las matemáticas pueden «explicar» o «modelar» todo lo que ocurre en el mundo, o en los mundos posibles, en lugar de hablar de si se puede explicar con fórmulas. «No sé si las matemáticas sirven para todo pero han demostrado que son muy útiles en casi todas las ramas del saber y, sinceramente, yo soy el primer sorprendido de que así sea. Pero es un hecho irrefutable que las matemáticas van permeando cada día más ramas del saber. Nadie dudó nunca de que fueran útiles en física, química o ingeniería, pero hoy son imprescindibles en economía, biología, psicología o medicina, y además se utilizan en geografía, en demoscopia o en lingüística».