La geometría (del griego, geo=tierra y metría=medida) es la parte de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades métricas de las figuras en el plano o en el espacio. Desde los tiempos de Euclides (siglo III a.C.), y durante casi dos mil años, se habían estudiado las propiedades geométricas de las figuras planas y espaciales, pero siempre dando por hecho que se encuentran contenidas en el espacio ambiente. Sin embargo, desde el punto de vista intrínseco la presencia de dicho espacio ambiente es innecesaria y es sólo una imposición de nuestra propia naturaleza física. El punto crucial aquí fue la observación hecha por Gauss (1777-1855) en 1827 de que la geometría intrínseca de una superficie depende única y exclusivamente de la manera de medir en la superficie.

El descubrimiento de Gauss implicaba, entre otras cosas, que sería posible imaginar una geometría, al menos en dimensión dos, sin necesidad de depender del espacio ambiente euclídeo. Sin embargo, Gauss no disponía de las herramientas matemáticas necesarias para desarrollar sus ideas, y sería su estudiante Riemann (1826-1866) quien lo hiciera en su famosa tesis de habilitación, presentada en la Universidad de Gotinga en 1854. Utilizando un lenguaje intuitivo y sin demostraciones, en su célebre memoria Riemann introdujo lo que hoy llamamos una variedad diferenciable y asoció a cada punto de la variedad una forma cuadrática fundamental, esto es, una manera de medir, generalizando entonces la idea de curvatura a esta nueva situación. Riemann estableció la manera correcta de extender a dimensiones arbitrarias la geometría que Gauss había desarrollado para superficies de dimensión dos, marcando el nacimiento de la geometría riemanniana.

Posteriormente, y bajo el ímpetu de la teoría de la relatividad de Einstein, en 1915, apareció una nueva generalización al considerar la posibilidad de métricas lorentzianas. La teoría de la relatividad de Einstein se fundamenta en el hecho de que el universo se modela en términos de una variedad de dimensión cuatro, llamada espaciotiempo, en la que tenemos tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal que interactúan entre sí. La curvatura del espacio tiempo se interpreta entonces en términos de la gravedad y las ecuaciones que describen la relación entre la gravedad y la curvatura son las llamadas ecuaciones de campo de Einstein. De una manera intuitiva, dichas ecuaciones reflejan el hecho de que una masa en el espacio produce una deformación del espacio que lo curva.

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